Participó en tres Juegos Olímpicos de Verano entre los años 2008 y 2016, obteniendo una medalla de plata en la edición de Londres 2012 en la categoría de –90 kg.​ En los Juegos Panamericanos consiguió dos medallas en los años 2011 y 2015.​

Ganó dos medallas en el Campeonato Mundial de Judo en los años 2011 y 2013, y cinco medallas en el Campeonato Panamericano de judo entre los años 2011 y 2018.
​Asley González se convirtió en Campeón del Mundo 2013 en Río de Janeiro por Cuba en los 90kg y bronce mundial en 2011.

González fue finalista de los Juegos Olímpicos de 2012 en Londres. Ganó plata en los Juegos Panam en 2015, se llevó la plata en 2013 en París 5 medallas de plata en 2015.

Asley ganó el Gran Premio de La Habana en 2016 y la plata en el Gran Premio de Zagreb en 2018.

Asley González (CUB) fue el número 1 del Ranking Mundial de la IJF para adultos mayores de menos de 90 kg en 2013 y 2014. Se cambió a Rumanía en 2021.

En 2021 se nacionaliza rumano y comienza a participar en competencias internacionales bajo la bandera de Rumania.